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【转载】古希腊数学家是如何解决正方体体积翻倍难题的?  

2017-08-24 14:15:52|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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古希腊数学家是如何解决正方体体积翻倍难题的? - 真心阳光 - 《真心阳光》博客

埃拉托色尼 

       公元前3世纪希腊天文学家、数学家、地理学之父埃拉托色尼(Eratosthenes ofCyrene.  c. 276 BC – c. 195/194 BC)在Platonicus中记录了希腊提洛斯岛(Delos,传说是太阳神阿波罗的出生地)发生了一次瘟疫,当居民向阿波罗祈祷时,神谕说:他们需要把正方体的祭坛加到两倍,瘟疫才能停止

     现在我们知道,正方体体积翻倍其边长需要变为原长的(2开3次方)倍,但是,当时人们还不会开立方,该问题被限定在尺规作图法内完成。这可难坏了当时的工匠们,有人尝试把祭坛的边长变成原来的2倍,此时体积将是原来的8倍;如果再做一个等大的正方体虽可以体积翻倍,却不能得到正方体。这个问题太难了,当提洛斯岛的居民去请教当时的最著名的柏拉图,柏拉图也一筹莫展……

       对于倍立方体迈出第一步的是古希腊数学家希波克拉底。他将倍立方体问题做了一点变动,将问题转化为寻找两条线段长度的两个比例中项(当a:x=x:b,则x就是ab的比例中项),他这样提问:假设a,b代表两条线段的长度,当x,ya,b的两个比例中项时,即a:x=x:y=y:b;观察这个连比:其一,三个比相乘(a: x)(x : y)(y: b=a :b;其二,(x:y)和(y:b)均等于(a:x),三个比相乘又可以等于(a:x3=a3: x3。这两步说明,a3: x3= a :b。可见,当a :b=1:2时,x=(2开3次方)a,也就是说当a为原立方体边长时,x就是新立方体的边长。

       此后希波克拉底就努力用尺规作图法去寻找a,b之间的两个比例中项。当时人们已知求解两数的一个比例中项的方法,例如以AC为直径的半圆 ABC,则可知ABC为直角,过B点作AC的垂线BH,则ABH相似于BCH三角形,因此有AHBH=BHHC,因此BH就是AHHC的比例中项,这在后来被称为射影定理。

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图2   射影定理

找一个比例中项相对容易,但要找到两个比例中项解决倍立方体就不那么容易了。希波克拉底最后也没有解决该问题。虽然希波克拉底没能找到他设定的两个比例中项,但后来致力于解决倍立方体的数学家都沿用希波克拉底寻找两个比例中项的思路。他还部分解决了化圆为方问题(古希腊三大数学难题:化圆为方、倍立方体、三等分角),并第一次系统的撰写了几何学,欧几里得的《几何原本》是建立在这些前人研究基础之上的。

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         最终解决倍立方体问题的是被誉为数学力学家的阿契塔。而且他在空间作图,是所有解(与后来解决该问题的解相比)中最为独特的一种。为了便于说明,我们借用一些现代我们熟悉的工具如坐标系。——

       考虑如下图3 所示坐标系A-xyz,在xAy平面内作一个直径为AD的圆,做弦AB,这里AB=aAD=b。目标是寻找ab之间的两个比例中项。过D点做圆ABD的切线与AB的延长线交于P——

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图3  阿契塔的立体作图  

然后,转到A-xyz空间中,考虑以下几个步骤:

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                                                                        图4   直角三角形中找两个比例中项

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 注意到连比a:x=x:y=y:b如下图5——

前一个等号可导出:x2=ay                            (1)

后一个等号可导出:y2=bx                            (2)   这两个方程(1)(2)表示抛物线。

从(1)x(2)导出:xy=ab                          (3)   这是双曲线。

选择(1)~(3)式中任意两个,连列方程,求出x就解决了倍立方体问题。

如图7所示—— 将(1),(2)(3)所表示的曲线绘制在同一个坐标系中,方程(1)-(3)两两求解,可得三条曲线相交于同一点P,则P点的横坐标x(图中ON的长)就是我们要求的解。过P点作PNOxN,作PMOyM。连接MN,过MMBMNx轴于B点,过NNAMNy轴于A点。可以发现,不论a、b是多少,3条曲线始终交于一点。


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图5   连比a:x=x:y=y:b坐标系

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现在擦除圆锥曲线,只留下辅助线,如图6——.


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图6

依据相似三角形有:OA:ON=ON:OM又有OA:ON=OM:OB。因此可以得到:OA:ON=ON:OM=OM:OB,假设OA=a, OB=b时,ON就是想要的解。如下图所示。设定OA=aOB=b,两直尺如图放置,保证两个直角尺的一边分别通过BA两点,移动直角尺使得另两边重合且两直角落在两十字相交的线上,此时ON就是所求的解。

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  ——本文来自张伟伟、张云科学网博客  

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